LO MEJOR DE LA DERIVACION: HISTORIA

Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz).

En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial.

El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, hace el estudio de los diámetros conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de una hipérbola de centro C, entonces, Apolonio demuestra que la tangente en P corta las asíntotas en los puntos L y L’ (fig. 9.1. (a)) que equidistan de P.

(a) (b)

fig. 9.1.

En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (fig. 9.1. (b)), Apolonio traza la perpendicular desde el punto Q al eje AA’, y halla el conjugado armónico T de N con respecto a A y A’, es decir, el punto T de la recta AA’ es tal que , o equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA’ en la misma razón en que N divide internamente a AA’. Entonces, la recta que pasa por T y Q será tangente a la elipse.

Igualmente, en el libro CÓNICAS V.8., Apolonio demuestra un teorema relativo a la normal a una parábola, que podría formar parte actualmente de un curso completo de Cálculo Diferencial.

En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el mas importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman ("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto mas pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, mas cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente a calcular:

Esta fue la razón que asistió a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe (Inglaterra)) y a Leibnitz (Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig (Alemania)) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales.

Newton, tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era mas sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) ó y, él lo llamaba "cantidades fluentes", y la derivada, D f (x) era llamaba "fluxión". Además, se le escribía en lugar de D f (x). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: "Los momentos - las actuales diferenciales - dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben por lo tanto considerarse como magnitudes finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton debía entenderlas muy bien, pero, para otro que no fuera su inventor del método, suenan bastante incomprensibles.

ecuacines de derivacion:
Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función $u(x 1,...x n)$ tiene la siguiente forma

$F(x_1, \cdots x_n,u,\frac{\partial}{\partial x_1}u, \cdots \frac{\partial}{\partial x_n}u,\frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_1}u, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_2}u, \cdots ) = 0 \,$

F es una funcion lineal de u y sus derivadas si, reemplazando u con v+w, F puede escribirse $F(v) + F(w),$ y si, reemplazando u con ku, F puede escribirse como $k \cdot F(u)$
Si F es una función lineal de u y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuacion de calor, la ecuacion de honda
Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

$\frac{\part u}{\part x}=0\,$

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solucion general de esta ecuacion diferencial es:

$u(x,y) = f(y),\,$

donde f es una función arbitraria de y. La ecuacion diferncial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

$\frac{du}{dx}=0,\,$

que tiene la siguiente solución

$u(x) = c,\,$

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es unica; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función $f(y)$ puede determinarse si $u$ se especifica sobre la línea $x = 0$